两个 intervention arms
Y(0)↔Y(1)
主问题是两个已声明 arms 之间的 conditional contrast。
COUNTERFACTUAL PREDICTION · CONTINUOUS TREATMENT
CTCP-EVIDENCE-2026-07-11-V2
不是更多 treatment arms，而是一条连续 intervention path。
HCGM-Dose 从 pretreatment covariates abduce latent unit，再把任意 dose \(a\) 送入共享、可微的 structural mechanism。它提供解析的预测分布、 quantile surface、finite-dose contrast 与 local derivative——同时明确告诉你： 哪些由数据识别，哪些只是平滑外推。
one unit · many queried worlds01 / intervention
pretreatment-only abduction
\(q_\phi(u\mid X=x)\)
same actual token · epistemic result
↓
aminaa′amax
analytic response at every supported dose
\(Y(a)\mid x\sim\operatorname{Cauchy}\{m(a,x),s(a,x)\}\)
100synthetic fits
60official benchmark rows
40support-stress fits
6formal claim boundaries
01 research shift
Binary switch 回答两个世界；continuous treatment 要回答一整族世界。
变化不只是 \(T\in\{0,1\}\) 变成 \(A\in\mathbb R\)。连续 treatment 额外引入局部 support、函数平滑性、dose derivative，以及跨 dose counterfactual coupling。
一条可询问的 mechanism path
每个 dose 都是一个 intervention query；邻域 support 决定 derivative 是否有因果含义。
预测必须和 support 一起返回
平滑曲线可以延伸到数据没去过的地方，但那是 model extrapolation，不是 causal identification。
mathematical argument map
从 factual data 到 causal statement，要跨过五个不同层次。
下面每一步都改变了讨论对象。任何一步缺失，都不能用下一步的公式替代。
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1observed data
先声明事实数据真正给了什么
\[\mathcal D_n=\{(x^{(i)},a^{(i)},y^{(i)})\}_{i=1}^n,\qquad y^{(i)}=f_\theta\!\left(a^{(i)},e^{(i)};u^{(i)}\right).\]上标 \(i\) 只给 observations 编号；\(u^{(i)}\) 是该 record 对应的 token realization，不定义 \(U_i\) 或独立的 unit functions。每个 token 只出现一个 factual dose 和 outcome；完整 dose path 不可同时观测。
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2causal estimands
再定义希望回答的反事实对象
\[F_a(y\mid x)=\Pr\{Y(a)\le y\mid X=x\},\qquad m(a,x)=Q_a(1/2\mid x),\]\[\tau(a,a';x)=m(a,x)-m(a',x),\qquad g(a,x)=\partial_a m(a,x).\]这是 causal target 的定义，还不是从 observed data 得出的结论。
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3identification assumptions
说明 observed world 与 intervention world 何时可以连接
consistencyno interference\(Y(a)\perp A\mid X\)\(f_{A\mid X}(a\mid x)>0\)weak exchangeability 是逐 dose 的条件，不声称整条过程 \(\{Y(a):a\in\mathcal A\}\) 与 assignment 联合独立。
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4identification result
在 support 上，把 causal marginal 写成 observed conditional law
\[\boxed{F_a(y\mid x)=\Pr(Y\le y\mid A=a,X=x)}\]右侧应理解为 regular conditional distribution；continuous \(A\) 下不是对零概率事件 \(A=a\) 做朴素频数条件化。Derivative 还要求邻域 support 与可微性。
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5statistical recovery
最后才问：所选模型与 loss 能否恢复 identified predictive distribution
\[R(\vartheta)-R(\vartheta^\star)=\mathbb E_{X,A}\!\left[D_{\mathrm{KL}}\{p^\star(\cdot\mid X,A)\Vert p_\vartheta(\cdot\mid X,A)\}\right]\ge0.\]只有在正确 Cauchy specification、有限 cross-entropy 与 population global optimum 下，factual log-risk 才 Fisher-consistently 恢复 supported dose-indexed predictive distribution。
两个不能混淆的结论
Identification 说明 causal marginal 等于哪个 observed conditional law；Fisher consistency 说明 chosen likelihood 在什么模型条件下恢复该 conditional law。后者不能替代前者的 causal assumptions。
02 analytic mechanism
Abduce 一次，
沿 dose path 反复 intervene。
Cauchy affine closure 把 latent uncertainty 精确传播成每个 dose 下的 response distribution，无需 Monte Carlo latent sampling。
只使用 pretreatment \(X\)
\[q_\phi(u\mid X=x)=\prod_{j=1}^d \operatorname{Cauchy}\!\left(u_j;\mu_j(x),\gamma_j(x)\right)\]
世界里已有 \(U=u^\star\)。\(X=x\) 是 factual evidence，分布是 learner 对同一个实际 token 的 epistemic result；dose 不进入 abduction，也不会为 alternative dose 重抽 identity。一般可选 point、Gaussian 或 Cauchy；本文实证后两者。Cauchy 的 \(\mu,\gamma\) 是 location/scale，非退化时没有 finite mean/variance；重尾不等于任意 outcome 都可生成。
共享的 dose-indexed mechanism
\[Y(a)=c(a)+w(a)^\top U+\sigma(a)E_a\]
\(c_\theta,w_\theta,\sigma_\theta\) 随 dose 连续变化；固定同一 factual abduction result，只改变 \(a\) 查询 \(Y_u(a)=f_\theta(a,E;u)\)。
解析预测分布
\[Y(a)\mid x\sim\operatorname{Cauchy}\{m(a,x),s(a,x)\}\]
location 与 scale 分别是 \(m_\vartheta=c_\theta+w_\theta^\top\mu_\phi\) 和 \(s_\vartheta=\sum_j|w_{\theta,j}|\gamma_{\phi,j}+\sigma_\theta\)。
factual training objective
训练只看 observed triples，不读取反事实 oracle。
对每个 factual observation \((x_i,a_i,y_i)\)，最小化 Cauchy negative log-likelihood：
\[\ell_i(\vartheta)=\log\!\{\pi s_\vartheta(a_i,x_i)\}+\log\!\left[1+\left\{\frac{y_i-m_\vartheta(a_i,x_i)}{s_\vartheta(a_i,x_i)}\right\}^{\!2}\right].\]
这一步解释模型怎样估计 observed conditional law；它本身不会创造 exchangeability，也不会为 unsupported dose 提供 identification。
What the paper can read out
一个预测分布，四种可审计对象。
每个 dose 下的 conditional median / location。
latent uncertainty 与 event noise 的解析传播。
同一 dose-indexed 预测分布上的任意 conditional quantile。
只在邻近 doses 都有 support 时解释为 local causal estimand。
两个已支持 doses 的 location difference；它不等于已识别的 individual-level random contrast law。
03 identification audit
模型能计算什么，和事实数据能识别什么，必须分开。
核心假设是 consistency、no interference、pointwise weak exchangeability 与 conditional dose-density positivity。HCGM-style abduction 不会修复 hidden confounding。
| 对象 | 状态 | 边界 |
|---|---|---|
| \(F_a,Q_a,m(a,x)\) on support | identified | 需要 consistency + exchangeability + positivity |
| \(g(a,x)\) | locally identified | 还需要邻域 support 与 differentiability |
| fitted \(m_\vartheta,s_\vartheta\) | risk-recovered | 正确 Cauchy specification + population optimum |
| unsupported dose surface | model extrapolation | smoothness 不能补回缺失的数据支持 |
| \(Y(a)-Y(a')\) 的完整随机分布 | coupling-dependent | 必须额外指定 cross-dose event-noise coupling |
| latent coordinates \(U_j\) | model-implied | 预测分布可恢复不代表 latent gauge 唯一 |
strong-support query set
所有 causal readout 都应携带 support status。
\[\mathcal S_\varepsilon=\{(x,a):f_{A\mid X}(a\mid x)\ge\varepsilon\}.\]
若 \((x,a)\notin\mathcal S_\varepsilon\)，模型仍可数值求出 \(m_\vartheta(a,x)\)，但网页和论文都应把它标为 extrapolation；若要解释 \(g(a,x)\)，还需 \(a\) 的邻域落在 support 内。
cross-dose non-identification
同一组 dose-wise marginals，不决定唯一的 pairwise contrast distribution。
两种 coupling 都保持每个 dose 下的 response marginal，却给出不同的 contrast scale 与 probability of benefit。
\[\kappa_{\mathrm{ind}}=\sum_j|w_j(a)-w_j(a')|\gamma_j(x)+\sigma(a)+\sigma(a')\]
\[\kappa_{\mathrm{shared}}=\sum_j|w_j(a)-w_j(a')|\gamma_j(x)+|\sigma(a)-\sigma(a')|\]
\[Y(a)-Y(a')\mid x\sim\operatorname{Cauchy}\{\tau_\vartheta(a,a';x),\kappa_c(a,a';x)\}.\]
最重要的 non-claim一条看起来很平滑的 full-grid curve，可能同时混合了 supported interpolation 与 unsupported extrapolation。
04 empirical evidence
结果不是“模型通吃”，
而是三条可复核结论。
所有数字来自 frozen CSV；本页 build 会检查完整 grid、有限值与 replication counts。Lower is better。
Gaussian efficiency
干净 Gaussian outcomes 上，matched Gaussian learners 更有优势。
Cauchy robustness
5% gross-label contamination 下，Cauchy learners 保持稳定，Gaussian variants 明显退化。
All methods fail
hidden confounding negative control 中，abduction 与 factual likelihood 都无法恢复 exchangeability。
synthetic robustness grid
同一个 model family，在不同 truth regimes 下承担不同含义。
前 3 个场景比较 recovery 与 robustness；最后一组是 identification failure diagnostic，不是可识别 regime。
official protocol lab
三个 benchmark，三种 inductive-bias 排名。
Simu1
五个独立生成 datasets；VCNet-TR 的平均 ADRF MSE 最低。
support sensitivity lab
选择偏差越强，问题主要扩张在 low-support region。
这里的 strong support 使用 exact treatment density 阈值 \(f_{A\mid X}(a\mid x)\ge 0.10\)。拖动 selection strength，查看同一 HCGM-Dose-Cauchy 的三类误差。
strong-support fraction0.916
supported MAE0.065
low-support MAE0.124
full-grid MAE0.070
在 selection strength 0.5，绝大多数 query cell 有 strong support。
full gridstrong supportlow support
05 paper conclusion
可信的 continuous-treatment system，必须返回两件东西。
prediction+support status
把 HCGM 的 abduction → intervention → reduction 推广成可微的 continuous mechanism path，并保持解析 response distribution。
在有 support 和 exchangeability 的区域学习 dose-indexed marginal predictive distributions，而不是声称恢复完整 counterfactual process。
不宣称 universal benchmark superiority，不把 smooth extrapolation、hidden-confounding recovery 或 cross-dose joint law 冒充识别结果。
06 reproduce + audit
论文、代码与网页共享同一 evidence boundary。
网页数字由 frozen outputs 构建。完整 proofs、protocol details、per-seed rows 与 runtime provenance 保留在 paper package 中。
verified pathfactual-only training
cd implementation
uv sync --extra dev
uv run pytest
uv run python experiments/render_artifacts.py
cd ..
./build.sh
python3 site/build.pycomplete grids · finite values · source-derived web evidence