只有一个 U｜Learning DiscoSCM Unit Semantics

01

Ontology

为什么 DiscoSCM 中只有一个 \(U\)

\(U\) 是模型层面的 Unit Selection Variable。它回答“当前选中了哪个 unit”，而不是“这是数据表中的第几行”、“谁进入了样本”或“谁接受了什么 treatment”。

先记住这个关系

\[U=u_i\]

\(U\) 是模型里唯一的变量；\(u_i\) 是它对样本 \(i\) 取到的真实值。下标属于取值，不属于变量本身。

“只有一个 \(U\)”不等于所有样本具有相同 unit value。完全可以有 \(u_i\neq u_j\)：相同的是变量角色，变化的是 realizations。

模型里的变量 \(U\)

样本 \(i\) \(U=u_i\)

`selection` 必须指明是哪一层

\(U\) 是取值为 focal token 的 model-level variable；\(P_U\) 或 \(P(U\mid C)\) 描述 target population / context 中的 unit composition。 \(A/T\) 是 treatment / action / dose assignment，\(S^{\mathrm{obs}}\) 是 observation / sample inclusion。这些对象不能共用一个未限定的 “selection mechanism”名字。

对象	职责	不是什么
\(U\)	选中 focal token/unit	assignment、inclusion、propensity
\(P_U\)	population unit composition	evidence-indexed \(Q_i\)
\(O\) / pretreatment \(X\)	query-time admissible evidence	latent identity 或必然的 causal parent
\(A/T\)	treatment / action / dose assignment	Unit Selection Variable
\(S^{\mathrm{obs}}\)	observation / sample inclusion	Unit Selection Variable

02

Belief object

样本 \(i\) 真正被索引的是 \(Q_i\)

learner 看到了 \(X=x_i\)，却看不到真实选择 \(u_i\)。因此它需要形成一份关于同一个 \(U\) 的条件 belief。

For every measurable \(B\subseteq\mathcal U\)

\[ Q_i(B) := q_\phi(U\in B\mid X=x_i) \approx P(U\in B\mid X=x_i). \]

Variable \(U\)

同一个 model-level selector

Truth \(u_i\)

样本 \(i\) 的 unknown realization

Belief \(Q_i\)

由 evidence \(x_i\) 产生的完整条件分布

也可以写 \(Q_i(du)\approx P(U\in du\mid X=x_i)\)，或在存在密度时写 \(q_\phi(u\mid x_i)\approx p(u\mid X=x_i)\)。这里的 \(u\) 是积分变量。

Conditional target ≠ forced Bayes implementation

以 conditional law 作为 semantic target，不要求 learner 显式写出 population prior × likelihood。当前 \(\mathcal A_\phi\) 可以是直接学习的 discriminative abductor；这里约束的是 belief object 与 calibration target。

Not the belief object \[P(U=u_i\mid X=x_i)\]

只是一个事件的概率；连续 \(U\) 的单点概率通常还是零。

The full belief object \[B\mapsto Q_i(B)\]

定义在整个 \(\mathcal U\) 上，试图定位未知的 \(u_i\)。

若 \(X=x_i\) 不能唯一确定 unit，正确 posterior 本来就可以是 non-degenerate。只有完全识别的特殊情形，才可能退化为 \(P(U\in du\mid X=x_i)=\delta_{u_i}(du)\)。

Bare \(P\) 必须绑定 reference population

若训练数据只包含 \(S^{\mathrm{obs}}=1\) 的 records，直接从它们学到的对象是 \(P_{\mathrm{obs}}(U\in\cdot\mid O=o_i,S^{\mathrm{obs}}=1)\)，不是默认相等的 \(P_{\mathrm{tar}}(U\in\cdot\mid O=o_i)\)。

Observed-selected law versus target-population law

\[ Q_i^{\mathrm{obs}}(B) \approx P_{\mathrm{obs}}(U\in B\mid O=o_i,S^{\mathrm{obs}}=1), \qquad Q_i^{\mathrm{tar}}(B) \approx P_{\mathrm{tar}}(U\in B\mid O=o_i). \]

从 observed-selected law 转向 target law 需要声明 selection model / invariance、 target population 与 inclusion support。没有 selection / transport 问题时可保留简写 \(Q_i\)；一旦出现 selected sample，必须恢复 reference-law 限定。

关键方向 · reference law → focal belief

Target population 不是 Abduction 的产物

这里的 focal 指当前正在被考察的这一个 token，不是从总体中切出的一个小 population。target population 先规定 reference law；factual evidence 再把它收缩成 learner 对一个固定 actual token 的 epistemic belief。

Reference law \(P_U^{\mathrm{tar}}\)

target-population composition

Factual evidence \(O_i\)

about the focal token

unit abduction

Epistemic belief \(Q_i^{\mathrm{tar}}(du)\)

about one fixed token

\[ Q_i^{\mathrm{tar}}(du) \approx P_{\mathrm{tar}}(U\in du\mid O=o_i). \]

什么时候可以叫 subpopulation？

只能解释为 soft epistemic candidate subpopulation

如果 focal evidence 只是对 target-population latent unit types 重新赋权，那么 \(Q_i^{\mathrm{tar}}\) 可以被解释为一个 soft candidate subpopulation：

\[ Q_i^{\mathrm{tar}}(du) = \frac{w_i(u)P_U^{\mathrm{tar}}(du)} {\int w_i(v)P_U^{\mathrm{tar}}(dv)}, \qquad Q_i^{\mathrm{tar}}\ll P_U^{\mathrm{tar}}. \]

这里的 candidate types 是关于同一个 actual token 的 epistemic hypotheses，不是多个真实 focal units。若直接学习的 \(q_\phi\) 没有满足或验证这条 population-reference 关系，就只能叫 candidate distribution / belief，不能自动叫 subpopulation。

不要这样说 “通过 abduction 得到 focal target population”

这会把对一个 token 的 epistemic hypotheses 误写成多个真实 units。

应该这样说 “在 target-population reference law 下，abduce focal-token epistemic belief”

满足 reweighting contract 时，可把它表示成 soft epistemic candidate subpopulation。

一句记住：target population 回答“事前哪些 token realizations 可能出现”； Abduction 回答“看到 evidence 后，我们如何认识眼前这个固定 token”。

03

Computational contract

Perception → Abduction → Reduction

三步可以有复杂神经网络，但每一步的 semantic responsibility 必须保持单纯。

P

Perception
变换 evidence geometry

\[Z^F=P_F(X),\qquad z_i^F=P_F(x_i)\]

Abduction 可以读取 \(z_i^F\)，但目标仍是关于 \(X=x_i\) 所选 unit 的 belief。若 \(P_F\) 在数据支持上可逆且逆映射可测，则 \(\sigma(Z^F)=\sigma(X)\)，原则上不丢失 \(X\) 中关于 \(U\) 的信息。

invertibility = information equivalence；不是 semantic identification。
A

Abduction
由 factual evidence 形成一次 \(Q_i\)

\[ Q_i=\mathcal A_\phi(P_F(x_i^F)) \approx P(U\in\cdot\mid X=x_i^F). \]

当前基础 observation contract 是 \(O=X\)。如果将来换成更丰富的 \(O\)，条件对象可改为 \(P(U\mid O=o_i)\)，但唯一 \(U\)、真值 \(u_i\)、belief \(Q_i\) 的关系不变。

\(O\) 只能包含 query time 可用、且对当前 estimand 合法的 factual evidence。 Pretreatment \(X\) 常是 evidence；\(A/T\) 首先是 assignment / query， \(S^{\mathrm{obs}}\) 首先是 inclusion indicator，它们不自动是 unit-identity evidence。

\(P(U\mid X=x_i)\) 是 epistemic conditioning；不自动声明 causal arrow \(X\to U\)。
R

Reduction
固定 \(Q_i\)，再回答不同 query

\[ \mathcal L_i(dy;x^Q) = \int_{\mathcal U} K_\theta(dy\mid P_Q(x^Q),u)\,Q_i(du). \]

\(x_i^F\) 是用于更新 unit belief 的 factual evidence； \(x^Q\) 是送进 response mechanism 的 query。query 改变时， response 可以改变，\(Q_i\) 不得重新计算。

\(x_i^F\)abduct once\(Q_i\)
\(x_1^Q\)\(x_2^Q\)\(\cdots\)

Oracle knows the realization \[ \mathcal L_i^*(dy;x^Q) = P_*(Y(x^Q)\in dy\mid U=u_i) \]

Learner integrates candidates \[ \mathcal L_i(dy;x^Q) = \int K_\theta(dy\mid x^Q,u)Q_i(du) \]

\(\widetilde u^{(m)}\sim Q_i\) 是 candidate draw，不是真实 \(u_i\)。软件 batch row \(i\) 存储的是 \(Q_i\) 的参数、candidate 或 realization，不是一个新的本体变量。

04

Identification boundary

语义目标，不等于已经识别

\(Q_i\approx P(U\mid X=x_i)\) 是 Abduction 的 semantic / calibration target，不是仅凭 observational predictive fit 自动获得的 theorem。

训练数据通常只约束 Abduction 与 Reduction 共同诱导的 observable mixture：

\[ p_{\phi,\theta}(dy\mid x) = \int K_\theta(dy\mid P_Q(x),u)\, q_\phi(du\mid P_F(x)). \]

不同的 \((q_\phi,K_\theta)\) 可以产生相同 observable distribution。对任意可逆重参数化 \(h\)，pushforward belief \(h_\#Q_i\) 与相应变换后的 mechanism 可以保持完全相同的 predictions。

Does not follow invertible perception

不推出 \(U\) 可识别

Does not follow accurate prediction

不推出 \(Q_i\) 是真实 posterior

Needs extra structure posterior recovery

需要 oracle evidence、intervention、multi-view 或 mechanism restrictions

只有声称“找回了 unit”时，才需要继续区分

预测得准，不等于认出了这个 unit。不同 unit 可能在我们关心的条件下表现得一样，模型里的表示也不自动等于真实对象。这是 identification 的边界，不是 Unit Selection Variable 的定义，所以不需要在开头引入额外关系符号。

Candidate support ≠ causal positivity

\(q_\phi(u\mid O)\) full support 或 Cauchy scale \(\gamma_\phi(O)>0\) 只描述 candidate-unit uncertainty geometry。它不推出 treatment overlap \(p(A=a\mid X=x)>0\)，也不推出 inclusion positivity \(P(S^{\mathrm{obs}}=1\mid\text{target stratum})>0\)。

Unit abduction 本身不会修复 sample-selection bias、treatment-selection bias 或 hidden confounding。即使 \(Q_i\) 被 oracle 校准，causal / transport claim 仍需要独立的 assignment、exchangeability / confounding、selection、positivity 与 stability assumptions。

05

换问题，不换人

明明是同一个 unit，为什么还要专门检查？

反事实本来就在问：“同一个 unit 换一种 action，结果会怎样？” 所以这里不是怀疑它还是不是同一个 unit，而是检查代码会不会在换问题时，悄悄把这个 unit 重新判断一遍，甚至换成另一个。

真实对象不变 \(U=u_i\)

换一种 action，只是换问题；被问的仍是同一个 unit。

对它的判断只做一次 \(Q_i=\mathcal A_\phi(O_i^F)\)

先根据已经观察到的事实判断“这是怎样的 unit”。\(Q_i\) 是这份带有不确定性的判断，不是 unit 本身。

之后只改变问题 \(K_\theta(\,\cdot\mid x^Q,u)\)

再换 treatment / action，计算相应结果；不能用这个假设中的 action 反过来改写 \(Q_i\)。

一个容易忽略的坑 光说“复用同一个 \(Q_i\)”还不够。

旧实现确实缓存并复用了 \(Q_i\)，但在计算 \(Q_i\) 时，仍把随机分配的 action 喂给了 encoder。也就是说，问题不是“有没有缓存”，而是把本来只用于比较结果的 action，当成了判断“这是哪个 unit”的线索。

同一个分布，不一定还是同一个模拟对象

如果只想分别看每种 action 下的结果分布，固定 \(Q_i\) 后分别计算即可。但如果要比较“同一个模拟 unit 在两种 action 下会怎样”，就要从 \(Q_i\) 只抽一次 \(\widetilde u_i^{(m)}\)，然后让它回答所有 action。若每个 action 都重新抽一次，即使都来自同一个 \(Q_i\)，比较的也已经是不同的模拟 unit。 outcome 自身的随机性是否共享，是另一个问题，需要单独说明。

实验放在哪里？

本页只保留这个直接影响理解的教训。具体数字、每篇论文受到什么影响，都放在独立的实验审计里，避免打断 Unit Selection Variable 的解释主线。

需要时阅读完整实验审计 →

所以，提交前不要只问“有没有复用 \(Q_i\)”，而要问：是否先根据同一份已观察事实，只判断一次“这是怎样的 unit”；之后换 action 时，有没有保持这个判断不变？若要比较同一个模拟 unit，还是否真的复用了同一次抽样？

06

常见写法修正

看到错误表达时，统一这样改

不要这样写	Learning DiscoSCM 正确表达
样本 \(i\) 有一个 \(U_i\)	样本 \(i\) 对应事件 \(U=u_i\)
\(q_\phi(U_i\mid X_i)\)	\(Q_i(du)=q_\phi(U\in du\mid X=x_i)\)
\(Q_i=P(U=u_i\mid X=x_i)\)	\(Q_i(B)\approx P(U\in B\mid X=x_i)\)
\(q_\phi(u_i\mid x_i)\) 是整个 belief	它至多是密度在真值处的标量；完整对象是 \(q_\phi(u\mid x_i)\)
\(Y(x^Q)\mid U_i\)	\(Y(x^Q)\mid U=u_i\)
query 改变后重新 abduce	同一份已观察事实只用来判断一次 unit；之后换 action 时，只重新计算结果，不重新判断“这是谁”
每个 query 都从同一个 \(Q_i\) 独立重抽 unit candidate	若要比较同一个模拟 unit，只抽一次 \(\widetilde u_i^{(m)}\) 并用于所有 actions；outcome 自身的随机性另行说明
flow 恢复了真实 \(U\)	flow 原则上保留 \(X\) 中关于 \(U\) 的信息
Unit Selection Variable 就是 treatment / sample selector	\(U\) 选 token；\(A/T\) 负责 assignment，\(S^{\mathrm{obs}}\) 负责 inclusion
\(P_U\) 与 \(Q_i\) 是同一对象	\(P_U\) 是 population composition；\(Q_i\) 是 evidence-indexed learner belief
\(q_\phi\) full support 所以满足 positivity	candidate support、treatment overlap 与 sample-inclusion positivity 是不同条件
selected-sample belief 就是 target-population belief	显式区分 \(P_{\mathrm{obs}}(\cdot\mid S^{\mathrm{obs}}=1)\) 与 \(P_{\mathrm{tar}}\)
预测得准，所以模型认出了真实 unit	预测准确只说明结果预测得好；还要另证模型里的表示确实对应真实对象

真的需要 iid random copies 时怎么办？

统计附录可显式声明 replica notation \(U^{(1)},\ldots,U^{(n)}\)，并说明它只是采样或证明工具。不要让 replica notation 反向改写 DiscoSCM 的主文 ontology。

07

最后检查

提交前逐项回答

这张表不是考术语，而是防止代码或文字在不知不觉中换了人、换了证据、换了总体，或者把当前结果说得过头。

整个模型是否始终只定义一个 Unit Selection Variable \(U\)？样本 \(i\) 只是取到 \(U=u_i\)，而不是另外创造一个新变量。
是否把“这是哪个 unit”“它接受什么 action”“它有没有进入样本”分开表达，而没有都混叫 selection？
文中的 unit 指真实对象，还是模型里对它的表示？两者有没有混用？
\(Q_i\) 是否被解释为：根据样本 \(i\) 已经观察到的信息，对“这是怎样的 unit”形成的一整份不确定判断？
计算 \(Q_i\) 时，是否只用了当时真正已知、而且允许使用的信息？若用了 action 或样本筛选信息，是否解释了为什么合理、为什么不会偷看答案？
对同一份已观察事实，是否只计算一次 \(Q_i\)？之后换 action 时，代码是否只重新计算结果，而不会重新判断“这是谁”？
如果要比较同一个模拟 unit 在多种 actions 下的结果，是否只从 \(Q_i\) 抽一次 \(\widetilde u_i^{(m)}\)，然后一直复用？
unit 是否保持不变，与 outcome 自身的随机扰动是否保持不变，是否分开说明了？
如果数据来自筛选后的人群，是否说明学到的是哪一群人的规律，以及能否用于目标人群？
是否说清当前结果究竟证明了什么，并避免把预测准确写成“已经找回真实 unit”或“已经识别反事实”？
评估时比较的究竟是同一真实 unit 换条件后的结果、对 \(Q_i\) 平均后的预测分布，还是只预测已经发生的结果？
sample / batch 下标是否只是数据和软件中的编号，而没有悄悄改变理论里的对象？

最后只记住一句话

\(U\) 只回答“当前是哪一个 unit”；\(u_i\) 是样本 \(i\) 对应的真实取值； \(Q_i\) 是我们根据已观察事实，对这个取值形成的不确定判断。先判断一次“这是怎样的 unit”，再问不同 action 下会怎样。换问题，不换人；若要比较同一个模拟 unit，也不要中途重新抽一个。