Analytic vs sampled quantiles
非退化 Cauchy 没有 mean 或 variance；这里比较解析四分位数和 deterministic Monte Carlo 四分位数。
Unit Mechanism Learning · tractable-family toy
Cauchy abduction + affine mechanism
这个 toy 检查一个最小数学事实：predictors \(x^F\) 先产生 Cauchy unit-abduction result，candidate \(u\) 再与 query \(x^Q\)、event noise 一起进入 affine generator；得到的 predictive outcome 仍是闭式 Cauchy 分布。
Scale decomposition
总 scale 被拆成 unit uncertainty 和 event-level noise 两部分。
Mechanism grammar
\[
\begin{aligned}
\widetilde U_j \sim q_{\phi,j}(du\mid x^F) &= \operatorname{Cauchy}\!\left(m_j(x^F), \gamma_j(x^F)\right),\\
\widetilde Y(x^Q) &= b(x^Q) + w(x^Q)^\top \widetilde U + \sigma(x^Q)E,\\
E &\sim \operatorname{Cauchy}(0,\gamma_E).
\end{aligned}
\]